BZOJ 4105

不稳定的传送门

Description

现有一个长度为$N$的序列$ \lbrace X_1,X_2,…,X_N\rbrace $,要求支持两种操作:
$1.\ 0\ l\ r$ 表示将$\forall i\in [l,r],X_i = X_i^2\ {\rm mod}\ p$
$2.\ 1\ l\ r$ 询问$\sum_{l\leq i\leq r}X_i$

Input

第一行有三个整数$N,M,p$,分别代表序列的长度、平方操作与询问操作的总次数以及在平方操作中所要模的数。
接下来一行$N$个数代表一开始的序列$\lbrace X_1,X_2,…,X_N\rbrace $。
接下来$M$行,每行三个整数$op,l,r$。其中$op$代表本次操作的类型。若$op=0$,代表这是一次平方操作,平方的区间为$[l,r]$;如果$op=1$,代表这是一次询问操作,询问的区间为$[l,r]$。

Output

对于每次的询问操作,输出一行代表这段区间内数的总和。注意:答案没有对任何数取模。

Sample Input

1
2
3
4
5
3 3 11
1 2 3
1 1 3
0 1 3
1 1 3

Sample Output

1
2
6
14

Hint

对于$100\%$的数据,保证$\forall i, X_i\in[0, P)$, $l, r\in[1, n]$

测试点 N M P
1 $\leq 1000$ $\leq 1000$ $=233$
2 $\leq 1000$ $\leq 1000$ $=2332$
3 $\leq 100000$ $\leq 100000$ $=5$
4 $\leq 100000$ $\leq 100000$ $=8192$
5 $\leq 100000$ $\leq 100000$ $=23$
6 $\leq 100000$ $\leq 100000$ $=45$
7 $\leq 100000$ $\leq 100000$ $=37$
8 $\leq 55000$ $\leq 55000$ $=4185$
9 $\leq 55000$ $\leq 55000$ $=5850$
10 $\leq 55000$ $\leq 55000$ $=2975$
11 $\leq 55000$ $\leq 55000$ $=2542$
12 $\leq 55000$ $\leq 55000$ $=2015$
13 $\leq 60000$ $\leq 60000$ $=2003$
14 $\leq 65000$ $\leq 65000$ $=2010$
15 $\leq 70000$ $\leq 70000$ $=4593$
16 $\leq 75000$ $\leq 75000$ $=4562$
17 $\leq 80000$ $\leq 80000$ $=1034$
18 $\leq 85000$ $\leq 85000$ $=5831$
19 $\leq 90000$ $\leq 90000$ $=9905$
20 $\leq 100000$ $\leq 100000$ $=9977$

在模意义下,任何数字一直平方都会进入$\rho$或$O$型循环

打表可以发现这些模数的所有循环节长度的${\rm LCM}$都是$\leq 60$的(本来想贴上每个的长度的…发现打表的程序删了T T)

那么线段树中每个节点维护一个环,修改时转一下就行了

注意$\rho$型循环中还没真正进入循环(也就是还在柄上)的情况,还没进循环时先不存,等转进循环时再算

先处理出$[0,p-1]$中真正在循环中的数,然后建树,线段树合并时长度取左右儿子长度的${\rm LCM}$,环上每个点的数值取左右儿子这一位的和

别的操作自行YY即可

顺便贴一发题解


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program bzoj_4105;
type circ=record nxt,k:longint; end;
var s:array[0..200000]of record l,r,len,sum,lc,rc,mk,cir:longint; end;
n,m,mo,i,op,l,r,tot,rt,cir:longint;
v:array[0..10000]of longint;
incir:array[0..10000]of boolean;
x:array[1..100000]of longint;
c:array[1..12000000]of circ;
function gcd(a,b:longint):longint;
begin
if b=0 then exit(a) else exit(gcd(b,a mod b));
end;
procedure find_cir(x:longint);
var t:longint;
begin
if v[x]<>0 then
begin
if v[x]=tot then
begin
t:=x;
repeat
incir[t]:=true;
t:=t*t mod mo;
until t=x;
end;
exit;
end;
v[x]:=tot;
find_cir(x*x mod mo);
end;
procedure get_cir(var p,len:longint;k:longint);
var st,t:longint;
begin
len:=1;
inc(cir);
p:=cir;
c[p].k:=k;
st:=p;
t:=k*k mod mo;
while t<>k do
begin
inc(len);
inc(cir);
c[p].nxt:=cir;
p:=c[p].nxt;
c[p].k:=t;
t:=t*t mod mo;
end;
c[p].nxt:=st;
p:=st;
end;
procedure add(var t:longint;c1,c2,len:longint);
var i,st,p:longint;
begin
inc(cir);
t:=cir;
st:=cir;
p:=st;
c[cir].k:=c[c1].k+c[c2].k;
for i:=1 to len-1 do
begin
inc(cir);
c[p].nxt:=cir;
p:=cir;
c1:=c[c1].nxt;
c2:=c[c2].nxt;
c[p].k:=c[c1].k+c[c2].k;
end;
c[p].nxt:=st;
end;
procedure merge(t,c1,c2,len:longint);
var i:longint;
begin
for i:=1 to len do
begin
c[t].k:=c[c1].k+c[c2].k;
t:=c[t].nxt;
c1:=c[c1].nxt;
c2:=c[c2].nxt;
end;
end;
procedure update(t:longint);
var ll,rl:longint;
begin
s[t].sum:=s[s[t].lc].sum+s[s[t].rc].sum;
ll:=s[s[t].lc].len;
rl:=s[s[t].rc].len;
if (s[t].len=0)and(ll<>0)and(rl<>0) then
begin
s[t].len:=ll*rl div gcd(ll,rl);
add(s[t].cir,s[s[t].lc].cir,s[s[t].rc].cir,s[t].len);
end else merge(s[t].cir,s[s[t].lc].cir,s[s[t].rc].cir,s[t].len);
end;
procedure build(var t:longint;l,r:longint);
var mid:longint;
begin
inc(tot);
t:=tot;
s[t].lc:=0;
s[t].rc:=0;
s[t].sum:=0;
s[t].len:=0;
s[t].mk:=0;
s[t].l:=l;
s[t].r:=r;
if l=r then
begin
if incir[x[l]] then get_cir(s[t].cir,s[t].len,x[l]);
s[t].sum:=x[l];
exit;
end;
mid:=(l+r)>>1;
build(s[t].lc,l,mid);
build(s[t].rc,mid+1,r);
update(t);
end;
procedure rotate(t,d:longint);
var i:longint;
begin
if t=0 then exit;
d:=d mod s[t].len;
inc(s[t].mk,d);
for i:=1 to d do s[t].cir:=c[s[t].cir].nxt;
s[t].sum:=c[s[t].cir].k;
end;
procedure pushdown(t:longint);
begin
if s[t].mk=0 then exit;
rotate(s[t].lc,s[t].mk);
rotate(s[t].rc,s[t].mk);
s[t].mk:=0;
end;
procedure modify(t,l,r:longint);
var mid:longint;
begin
if s[t].mk<>0 then pushdown(t);
if (l<=s[t].l)and(r>=s[t].r) then
begin
if s[t].len<>0 then rotate(t,1) else if s[t].l=s[t].r then
begin
s[t].sum:=sqr(s[t].sum)mod mo;
if incir[s[t].sum] then get_cir(s[t].cir,s[t].len,s[t].sum);
end else
begin
modify(s[t].lc,l,r);
modify(s[t].rc,l,r);
update(t);
end;
exit;
end;
mid:=(s[t].l+s[t].r)>>1;
if l<=mid then modify(s[t].lc,l,r);
if r>mid then modify(s[t].rc,l,r);
update(t);
end;
function query(t,l,r:longint):longint;
var mid:longint;
begin
if s[t].mk<>0 then pushdown(t);
if (l<=s[t].l)and(r>=s[t].r) then exit(s[t].sum);
mid:=(s[t].l+s[t].r)>>1;
query:=0;
if l<=mid then inc(query,query(s[t].lc,l,r));
if r>mid then inc(query,query(s[t].rc,l,r));
end;
begin
readln(n,m,mo);
for i:=0 to mo-1 do incir[i]:=false;
for i:=0 to mo-1 do v[i]:=0;
tot:=0;
for i:=0 to mo-1 do if v[i]=0 then
begin
inc(tot);
find_cir(i);
end;
for i:=1 to n do read(x[i]);
tot:=0;
cir:=0;
build(rt,1,n);
for i:=1 to m do
begin
readln(op,l,r);
if op=0 then modify(1,l,r) else writeln(query(1,l,r));
end;
end.